Question

設函數f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）證明：當a≥1時，函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調函數．

Answer 1

分析：（1）不等式f（x）≤1，轉化為一元二次不等式組，根據a的范圍求解不等式即可．
（2）當a≥1時，利用函數單調性的定義，即：在區間[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＞0，從而證明函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調減函數．

解答：（1）解：不等式f（x）≤1即

x2+1

≤1+ax，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常數a＞0．
所以，原不等式等價于

x2+1≤(1+ax)2 x≥0.

即

x≥0 (a2-1)x+2a≥0

（3分）
所以，當0＜a＜1時，所給不等式的解集為{x|0≤x≤

2a

1-a2

}；
當a≥1時，所給不等式的解集為{x|x≥0}．（6分）
（2）證明：在區間[0，+∞）上任取x₁，x₂
使得x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +1

-

x 2 2 +1

-a(x1-x2)
=

x 2 1 - x 2 2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a(x1-x2)
=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)．(9分)
∵

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1，且a≥1，
∴

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a＜0，
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，當a≥1時，函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調遞減函數．（12分）

點評：本小題主要考查不等式的解法、函數的單調性等基本知識，分類討論的數學思想方法和運算、推理能力．