Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3).

(1)求C的離心率；

(2)設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|＝17，求證：過A、B、D三點的圓與x軸相切.

Answer 1

(1)由題意知，l的方程為y＝x＋2.

代入C的方程，并化簡，得(b²－a²)x²－4a²x－4a²－a²b²＝0.

設B(x₁，y₁)、D(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝－，①

由M(1,3)為BD的中點知＝1，

故×＝1，

即b²＝3a²，②

故c＝＝2a，

所以C的離心率e＝＝2.

(2)由①②知，C的方程為：3x²－y²＝3a²，

A(a,0)，F(2a,0)，x₁＋x₂＝2，x₁·x₂＝－<0，

故不妨設x₁≤－a，x₂≥a.

|BF|＝＝＝a－2x₁，

|FD|＝＝＝2x₂－a，

|BF|·|FD|＝(a－2x₁)(2x₂－a)＝－4x₁x₂＋2a(x₁＋x₂)－a²

＝5a²＋4a＋8.

又|BF|·|FD|＝17，故5a²＋4a＋8＝17，

解得a＝1或a＝－(舍去).

故|BD|＝|x₁－x₂|＝·＝6.

連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，

從而MA＝MB＝MD，且MA⊥x軸，

因此以M為圓心，MA為半徑的圓經過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切.

所以過A、B、D三點的圓與x軸相切.