Question

（理科做）已知圓O：x²+y²=4，點M（1，a）且a＞0．
（I ）若過點M有且只有一條直線l與圓O相切，求a的值及直線l的斜率，
（II ）若a=

2

，過點M的兩條弦AC、BD互相垂直，記圓心O到弦AC、BD的距離分別為d₁、d₂•
①證明d₁²+d₂²為定值；
②求|AC|+|BD|的最大值．

Answer 1

分析：（1）本題考查的是圓的切線方程，即直線與圓方程的應用．（要求過點M的切線l的斜率，關鍵是求出切點坐標，由M點也在圓上，故滿足圓的方程，則易求M點坐標，然后代入圓的切線方程，整理即可得到答案．
（2）①設圓心O在AC上的射影為R，則d₁=|OR|，圓心O在BD上的射影為Q，d₂=|OQ|，又過點M的兩條弦AC、BD互相垂直，故四邊形OQMR為矩形，從而可證明d₁²+d₂²為定值；②由于直線AC、BD均過M點，故可以考慮設兩個直線的方程為點斜式方程，但由于點斜式方程不能表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長公式，及基本不等式進行求解．

解答：解：（Ⅰ）由條件知點M（1，a）在圓O上，
∴1+a²=4，
∴a=±

3

．
∵a＞0，
∴a=

3

時，點M為（1，

3

），k_OM=

3

，k切線=-

3

3

，
（Ⅱ）①設圓心O在AC上的射影為R，則d₁=|OR|，圓心O在BD上的射影為Q，d₂=|OQ|，又過點M的兩條弦AC、BD互相垂直，
∴四邊形OQMR為矩形，
∴d₁²+d₂²=OM²=(

2

)2+1²=3（定值）．
②當AC的斜率為0或不存在時，可求得|AC|+|BD|=2（

2

+

3

），
當AC的斜率存在且不為0時，
設直線AC的方程為y-

2

=k（x-1），
直線BD的方程為y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦長公式l=2

r2-d2

，
可得：|AC|=2

3k2+2 2 k+2 k2+1

，
|BD|=2

2k2-2 2 k+3 k2+1

，
∵|AC|²+|BD|²=4（

3k2+2 2 k+2

k2+1

+

2k2-2 2 k+3

k2+1

）=20，
∴（|AC|+|BD|）²=|AC|²+|BD|²+2|AC|×|BD|≤2（|AC|²+|BD|²）=40，
故|AC|+|BD|≤2

10

．
即|AC|+|BD|的最大值為2

10

．

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，著重考查分類討論思想與轉化思想，難點在于“（|AC|+|BD|）²=|AC|²+|BD|²+2|AC|×|BD|≤2（|AC|²+|BD|²）”的思考與應用，屬于難題．