Question

設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則下列命題中是真命題的個數是
①存在一個圓與所有直線相交②存在一個圓與所有直線不相交；
③存在一個圓與所有直線相切④M中所有直線均經過一個定點；
⑤不存在定點P不在M中的任一條直線上；
⑥對于任意整數n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；
⑦M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．

1. A.
   3
2. B.
   4
3. C.
   5
4. D.
   6

Answer 1

C
分析：根據已知可知直線系M都為以（0，2）為圓心，以1為半徑的圓的切線，取半徑為2即可得到所以①對；存在圓心為（0，2），半徑為的圓與直線都不相交，所以②對；③顯然對；④錯；⑤錯，存在可取一點（0，2）即可驗證；⑥，⑦可去三角形的外接正三角形所有邊均在M中的直線上且面積相等，所以⑥⑦都正確．
解答：根據直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直線都為圓心為（0，2），半徑為1的圓的切線；
可取圓心為（0，2），半徑分別為2，，1得到①②③正確；所有的直線與一個圓相切，沒有過定點，④錯；存在（0，2）不在M中的任一條直線上，所以⑤錯；存在等邊三角形的三邊都在M中的直線上，⑥⑦對，可取圓的外接正三角形其所有邊均在M中的直線上且面積相等；可知①②③⑥⑦正確，④⑤錯，所以真命題的個數為5個
故選C
點評：考查學生利用直線的斜截式方程得到直線系M為平面內除過一個圓的區域．