Question

已知函數f（x）定義在R上，對?x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0．
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：y=f（x）是偶函數；
（3）若存在常數c，使f(

c

2

)=0．①求證：對?x∈R，有f（x+c）=-f（x）；②求證：y=f（x）是周期函數．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0代入恒等式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），求解即得．
（2）令x=0代入恒等式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），整理即可得到f（y）=f（-y），可證得其為偶函數．
（3）①在恒等式中將x換成x+

c

2

，把y換成

c

2

，結合f(

c

2

)=0整理即得結論；②由①的結論f（x+c）=-f（x）可以得到f（x+c）=-f（x）=f（x-c），即得周期為2c．

解答：解：（1）證明：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）
令x=y=0得f（0）+f（0）=2f²（0），
又∵f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）證明：在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）中，
令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）•f（y）=2f（y），
∴f（y）=f（-y）
∴f（x）是偶函數
（3）①在已知等式中把x換成x+

c

2

，把y換成

c

2

，且由f(

c

2

)=0得f(x+

c

2

+

c

2

)+f(x+

c

2

-

c

2

)=2f(x+

c

2

)•f(

c

2

)=0，
∴f（x+c）=-f（x）
②由=1 ①知對?x∈R，有f（x+c）=-f（x），
∴f（x+2c）=-f（x+c），代入得f（x+2c）=f（x），
∴f（x）是以T=2c為一個周期的周期函數．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查利用賦值的辦法求值即證明等式，此類題的特征是根據題中所給的相關性質靈活賦值以達到求值或者證明命題的目的．本題綜合性較強，對觀察能力與靈活變形能力要求較高．