Question

已知點F是雙曲線＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．

Answer 1

(1,2)

由題意知，△ABE為等腰三角形．若△ABE是銳角三角形，則只需要∠AEB為銳角．根據對稱性，只要∠AEF<即可．直線AB的方程為x＝－c，代入雙曲線方程得y²＝，取點A，則|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b²<a²＋ac，即c²－ac－2a²<0，即e²－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.