Question

（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）

已知曲線，從上的點作軸的垂線，交于點，再從點作軸的垂線，交于點，設

（1）求數列的通項公式；

（2）記，數列的前項和為，試比較與的大小；

（3）記，數列的前項和為，試證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2），由，，，

當時，

 

；

（3）見解析。

【解析】(1) 依題意確定點的坐標為，從而可得,

所以可得,所以再采用累加的方法求出通項即可.

(2)先求出,然后先求出S₁,S₂,S₃驗證均滿足小于,

然后證明當n>3時，,采用了不等式放縮后易證.n>3時，.

（3）先確定,可得,

然后可以利用此不等式進行放縮，這是解決此題的突破口.

（1）依題意點的坐標為，，，

．．．．．．2分

；

．．．．．．4分

（2），由，，，

當時，

 

；．．．．．．8分

（3），所以易證：，

當時，，

，（當時取“”）．．．．．．11分

另一方面，當時，有：

，

又，

，．所以

對任意的，都有．．．．．．．14分