Question

現給出如下四個命題：
①過點A（4，1）且在兩坐標軸上的截距相等的直線共有兩條；
②若平面α內的兩條直線都與平面β平行，則α∥β；
③已知α∩β=l，若α內的直線m垂直于l，則α⊥β；
④已知α⊥β，α∩β=l，若α內的直線m與l不垂直，則m與β也不垂直．
請你寫出其中所有真命題的序號：

①④

．

Answer 1

分析：①當直線過原點時，求出一條直線方程．當直線不過原點時，求出另一條直線方程；②若平面α內的兩條直線都與平面β平行，則α與β相交或平行；③α∩β=l，若α內的直線m垂直于l，則α與β相交或平行；④由面面垂直的性質定理進行判斷．

解答：解：①當直線過原點時，斜率等于

1-0

4-0

=

1

4

，
故直線的方程為y-1=

1

4

（x-4），即 x-4y=0．
當直線不過原點時，設直線的方程為 x+y+m=0，把A（4，1）代入直線的方程得 m=-5，
故求得的直線方程為 x+y-5=0．
綜上，滿足條件的直線方程共兩條件，故①正確；
②若平面α內的兩條直線都與平面β平行，
則α與β相交或平行，故②錯誤；
③α∩β=l，若α內的直線m垂直于l，則α與β相交或平行，故③錯誤；
④α⊥β，α∩β=l，若α內的直線m與l不垂直，
由面面垂直的性質定理知m與β也不垂直．
故答案為：①④．

點評：本題考查的知識點是空間中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，熟練掌握空間線、面之間位置關系的定義、判定、性質，建立良好的空間想象能力是解答本題的關鍵．