Question

（本小題滿分12分）

如圖，在幾何體P－ABCD中，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.

(1)當AD＝2時，求證：平面PBD⊥平面PAC；

(2)若PC與AD所成角為45°，求幾何體P－ABCD的體積．

 

Answer 1

【答案】

 (1)見解析；(2) V＝×(2×2)×2＝

【解析】證明面面垂直利用面面垂直的判定定理，先證明線面垂直，在空間幾何體的證明中，注意線線，線面，面面之間的相互轉化；第二問求體積先需要根據條件求出BC的長度，然后就可以求出體積。

解：(1)當AD＝2時，四邊形ABCD是正方形，則BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，

∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.

(2)若PC與AD成45°角，∵AD∥BC，∴∠PCB＝45°.

∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴BC⊥PB，

∴∠CPB＝90°－45°＝45°，∴BC＝PB＝2，

∴幾何體P－ABCD的體積V＝×(2×2)×2＝