Question

若數列滿足條件：存在正整數，使得對一切都成立，則稱數列為級等差數列．
（1）已知數列為2級等差數列，且前四項分別為，求的值；
（2）若為常數），且是級等差數列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時數列的前3項和；
（3）若既是級等差數列，也是級等差數列，證明：是等差數列．

Answer 1

（1）19，（2），（3）詳見解析.

試題分析：（1）解新定義數列問題，關鍵從定義出發，建立等量關系.，（2）本題化簡是關鍵.因為是級等差比數列，所以，

，所以， 或
，最小正值等于，此時
，（3）充分性就是驗證，易證，關鍵在于證必要性，可從兩者中在交集（共同元素）出發. ,成等差數列, 因此既是中的項，也是中的項，既是中的項，也是中的項，可得它們公差的關系，進而推出三者結構統一，得出等差數列的結論.
（1）   （2分）

   （4分）
（2）是級等差數列，
（） （1分）（）
所以， 或
對恒成立時，
時，
   （3分）
最小正值等于，此時
由于（）
（）   （5分）

（）   （6分）
（3）若為級等差數列，，則均成等差數列，（1分）
設等差數列的公差分別為
為級等差數列，，則成等差數列，設公差為
既是中的項，也是中的項，   （3分）
既是中的項，也是中的項，
   （5分）
設，則
所以（），
，（）
又，，所以，   （7分）
（）
綜合得：，顯然為等差數列。   （8分）