Question

【題目】如圖，菱形中，，與相交于點(diǎn)，，.

（I）求證：平面；

（II）當(dāng)直線與平面所成角的大小為時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（I）菱形中，，則和都是正三角形，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以在中，，………………2分

因?yàn)?/span>，所以，……………………3分

又因?yàn)?/span>，所以平面，………………4分

又平面，所以．同理，

又因?yàn)?/span>，所以平面． ………………6分

（II）以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，以過點(diǎn)且平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，.設(shè)，則，………………7分

，

設(shè)平面的法向量為，則

即，令，得，

，

直線與平面所成角的大小為，

，

解得或（舍），.………………10分

故平面的一個(gè)法向量為，又，，所以平面的一個(gè)法向量為，則，

故二面角的余弦值為．………………12分