Question

給出下列命題：
①若f（tanx）=sin2x，則f（-1）=-1；
②將函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位，得到y=sin2x的圖象；
③方程sinx=lgx有三個實數根；
④函數y=1-2cosx-2sin²x的值域是-

3

2

≤y≤3
⑤把y=cosx+cos(

π

3

+x)寫成一個角的正弦形式是y=

3

sin(

π

3

+x)
其中正確的命題的序號是

 

（要求寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①由題得tanx=-1計算出x的值再計算出2x的值代入即可．
②由左加右減得原函數變化為y=sin(2x-

π

3

)．
③函數y=sinx與函數y=lgx有三個交點，因為函數y=lgx過點（10，1）結合函數的性質可得答案．
④原函數為y=2cos²x-2cosx-1，利用還原方法得到y=2t²-2t-1，t∈[-1，1]，進而可得答案．
⑤利用公式化簡結果是y=

3

sin(

π

3

-x)．

解答：解：①由題得tanx=-1所以x=

3π

4

+kπ所以2x=

3π

2

+2kπ所以sin2x=-1，故①正確．
②由左加右減得：將函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位得y=sin(2x-

π

3

)故答案②錯誤．
③即函數y=sinx與函數y=lgx有三個交點，因為函數y=lgx過點（10，1）且函數y=sinx是周期函數，故③正確．
④原函數為y=2cos²x-2cosx-1，還原的y=2t²-2t-1，t∈[-1，1]，所以函數的值域是-

3

2

≤y≤3，故④正確．
⑤y=cosx+cos(

π

3

+x)化簡結果是y=

3

sin(

π

3

-x)，故⑤錯誤．
故答案為：①③④．

點評：本題考查利用換元法得到熟悉的函數再求函數的值域，以及把方程的有解問題轉化為兩個函數的交點問題，解決此類題目的關鍵是熟悉兩個函數的圖象．