Question

 (本小題滿分12分，(Ⅰ)小問4分，(Ⅱ)小問8分.)如圖，橢圓的中心為原點，離心率=,一條準線的方程是=.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)設動點滿足:=,其中,是橢圓上的點，直線與的斜率之積為.問:是否存在定點,使得與點到直線：=的距離之比為定值？若存在,求的坐標;若不存在,說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【命題意圖】本題考查了橢圓標準方程的求解與橢圓的定植問題，考查學生綜合運用知識解決問題能力、運算求解能力和探究問題能力，難度較大.

【解析】(Ⅰ) ∵==,=,解得=2，=，∴==2，

∴橢圓的標準方程為；

(Ⅱ)設P(，)，，，則由=，得

==，

∴=，=，

  ∵,在橢圓上，∴，，

∴==

==.

設,分別表示直線，的斜率，由題設條件知，==，

∴，  ∴=20， 

∴點在橢圓上，該橢圓的右焦點為(,0),離心率=，右準線為：=，

∴根據橢圓的第二定義，存在定點(,0)，使得與點到直線的距離之比為定值.