Question

在如圖1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=

1

2

CD=a，E為CD中點．若沿AE將三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，連接DB，DC，得到如圖2所示的幾何體D-ABCE，在圖2中解答以下問題：
（Ⅰ）設F為AB中點，求證：DF⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AE中點H，連接HF，連接EB，利用面面垂直，證明線面垂直，即DH⊥平面ABCE，進一步證明AC⊥平面DHF，從而可得線線垂直；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出面DCB的法向量

m

=(0，1，1)，面DAB的法向量

n

=(1，

3

3

，

3

3

)，利用向量的夾角公式，可得二面角A-BD-C的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取AE中點H，連接HF，連接EB
因為△DAE為等邊三角形，所以DH⊥AE
因為平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE
所以DH⊥平面ABCE，
因為AC?平面ABCE
所以AC⊥DH…（2分）
因為ABCE為平行四邊形，CE=BC=a
所以ABCE為菱形，所以AC⊥BE
因為H、F分別為AE、AB中點，所以HF∥BE
所以AC⊥HF…（4分）
因為HF?平面DHF，DH?平面DHF，且HF∩DH=H
所以AC⊥平面DHF，又DF?平面DHF
所以DF⊥AC…（6分）
（Ⅱ）解：連接BH，EB
由題意得三角形ABE為等邊三角形，所以BH⊥AE
由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H為原點，分別以HA，HB，HD所在直線為x，y，z軸
建立空間直角坐標系，如圖所示
則A(

a

2

，0，0)，B(0，

3

2

a，0)，D(0，0，

3

2

a)，C(-a，

3

2

a，0)
所以

BD

=(0，-

3

2

a，

3

2

a)，

BC

=(-a，0，0)
設面DCB的法向量為

m

=(x，y，z)，則

-ax=0 - 3 2 ay+ 3 2 az=0

不妨設

m

=(0，1，1)…（8分）
設面DAB的法向量

n

=(x′，y′，z′)，又

DA

=(

a

2

，0，-

3

2

a)
則

x′- 3 z′=0 y′-z′=0

，取

n

=(1，

3

3

，

3

3

)…（10分）
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

10

5

所以二面角A-BD-C的正弦值為

15

5

…（12分）

點評：本題看下線面垂直，考查線線垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決空間角問題，屬于中檔題．