Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E為邊DC的中點(diǎn)，如圖1.將△ADE沿AE折起到△AEP位置，連PB、PC，點(diǎn)Q是棱AE的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱PC上，如圖2.

(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；

(2)若平面AEP⊥平面ABCE，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐A ?MQB的體積．

 

Answer 1

（1）1∶2（2）

【解析】(1)連AC、BQ，設(shè)AC∩BQ＝F，連MF.

則平面PAC∩平面MQB＝MF，因?yàn)?/span>PA∥平面MQB，PA?平面PAC，所以PA∥MF.(2分)

在等腰梯形ABCD中，E為邊DC的中點(diǎn)，所以由題設(shè)，AB＝EC＝2.

所以四邊形ABCE為平行四邊形，則AE∥BC.(4分)

從而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.

又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)

(2)由(1)知，△AED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，從而PQ⊥AE.

因?yàn)槠矫?/span>AEP⊥平面ABCE，交線為AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.

因?yàn)?/span>PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交線為QC.(9分)

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于N，則MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱錐M ?ABQ的高．

因?yàn)?/span>PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.

因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，所以MN＝PQ＝.(11分)

由(1)知，△ABE為正三角形，且邊長(zhǎng)為2.所以，S△ABQ＝.

三棱錐A ?MQB的體積VA ?MQB＝VM ?ABQ＝××＝.(14分)