Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AE和BF所成的角的余弦值；
（2）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA為x軸建立坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出兩條直線的方向向量，根據兩個向量的夾角點的兩條異面直線的夾角．
（2）要求兩個平面的夾角，先求出兩個向量的法向量，根據兩個向量的法向量所成的角的余弦，點的兩個平面所成的角的余弦值．

解答：解：（1）建立坐標系，以D為原點，DA為x軸建立坐標系
A（1，0，0），E(

1

2

，0，1)，B（1，1，0），F(1，

1

2

，1)

AE

=(-

1

2

，0，1)，

BF

=(0，-

1

2

，1)
cos(

AE

，

BF

)=

1

5 4 5 4

=

4

5

異面直線AE和BF所成的角的余弦值是

4

5

；
（2）平面BDD₁的一個法向量為

MA

=(

1

2

，-

1

2

，0)
設平面BFC₁的法向量為

n

=(x，y，z)

n • BF =- 1 2 y+z=0 n • BC =(x，y，z)•(-1，0，1)=-x+z=0

∴

x=z y=2z

取z=1得平面BFC₁的一個法向量

n

=(1，2，1)
cos＜

MA

，

n

＞=

MA • n

| MA || n |

=

1 2 -1

2 2 6

=-

3

6

，
∴所求的余弦值為

3

6

點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何中的夾角問題，本題解題的關鍵是建立坐標系，把理論的推導轉化成數字的運算．