Question

三題中任選兩題作答
（1）（2011年江蘇高考）已知矩陣A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

，求向量α，使得A²α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為(4，

π

2

)，若直線l過點P，且傾斜角為

π

3

，圓C以M為圓心、4為半徑．
①求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；  ②試判定直線l和圓C的位置關系．
（3）若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設向量

α

=

.

x   y

.

，由A²α=β，利用矩陣的運算法則，用待定系數法可得x 和 y 的值，從而求得向量

α

．
（2）①根據題意直接求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
②先化直線l的參數方程為普通方程，求出圓心坐標，用圓心的直線距離和半徑比較可知位置關系．
（3）利用柯西不等式，即可求得

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

解答：解：（1）、A²=

.

1 1 2 1

.

•

.

1 1 2 1

.

=

.

3 2 4 3

.

，設向量

α

=

.

x y

.

，由 A²

α

=

β

 可得

.

3 2 4 3

.

.

x y

.

=

.

1 2

.

，
∴

3x+2y=1 4x+3y=2

，解得 x=-1，y=2，
∴向量

α

=

-1 2

．
（2）①直線l的參數方程為

x=1+ 1 2 t y=-5+ 3 2 t

，（t為參數）
圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ．（6分）
②因為M（4，

π

2

）對應的直角坐標為（0，4）
直線l化為普通方程為

3

x-y-5-

3

=0
圓心到l的距離d=

|0-4-5- 3 |

3+1

=

9+ 3

2

＞4，
所以直線l與圓C相離．（10分）
（3）∵正數a，b，c滿足a+b+c=1，
∴（

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）²，
即

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1
當且僅當a=b=c=

1

3

時，取等號
∴當a=b=c=

1

3

時，

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值為1．

點評：本題考查圓與圓的位置關系，參數方程與普通方程的互化，矩陣的運算法則，絕對值不等式的解法．第（3）小題考查求最小值，解題的關鍵是利用柯西不等式進行求解，屬于中檔題．