Question

（本小題滿分12分）已知函數的定義域為.對定義域內的任意，都有,且當時， ,且

   （1） 求證：是偶函數；

   （2） 求證：在（0,+∞）上是增函數；

   （3）解不等式

Answer 1

解析：（1）因對定義域內的任意x1﹑x2都有

f（x1x2）=f（x1）+f（x2）,令x1=x,x2=-1，則有f（-x）=f（x）+f（-1）.

又令x1=x2=-1,得2f（-1）=f（1）.

再令x1=x2=1,得f（1）=0,從而f（-1）=0,

于是有f（-x）=f（x）,所以f（x）是偶函數.             …………4分

  （2）設0＜x1＜x2,則f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1·）=f（x1）-[f（x1）+f（）]=-f（）.

由于0＜x1＜x2,所以＞1,從而f（）＞0,故f（x1）-f（x2）＜0,即f（x1）＜f（x2）,

所以f（x）在（0,+∞）上是增函數.          …………8分

（3）由于f（2）=1，所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）,

于是待解不等式可化為f（2x2-1）＜f（4）,

結合（1）（2）已證的結論，可得上式等價于|2x2-1|＜4,

解得{x|-＜x＜,且x≠0}.       …………12分