Question

（2013•湖北）假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布N（800，50²）的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為p₀．
（Ⅰ）求p₀的值；
（參考數據：若X～N（μ，σ²），有P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p₀的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？

Answer 1

分析：（I）變量服從正態分布N（800，50²），即服從均值為800，標準差為50的正態分布，適合700＜X≤900范圍內取值即在（μ-2σ，μ+2σ）內取值，其概率為：95.44%，從而由正態分布的對稱性得出不超過900的概率為p₀．
（II）設每天應派出A型x輛、B型車y輛，根據條件列出不等式組，即得線性約束條件，列出目標函數，畫出可行域求解．

解答：解：（Ⅰ）由于隨機變量X服從正態分布N（800，50²），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正態分布的對稱性，可得p₀=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=

1

2

+

1

2

P(700＜X≤900)=0.9772
（Ⅱ）設A型、B型車輛的數量分別為x，y輛，則相應的營運成本為1600x+2400y．
依題意，x，y還需滿足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p₀．
由（Ⅰ）知，p₀=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p₀等價于36x+60y≥900．
于是問題等價于求滿足約束條件

x+y≤21 y≤x+7 36x+60y≥900 x，y≥0，x，y∈N

且使目標函數z=1600x+2400y達到最小值的x，y．
作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標分別為P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由圖可知，當直線z=1600x+2400y經過可行域的點P時，直線z=1600x+2400y在y軸上截距

z

2400

最小，即z取得最小值．
故應配備A型車5輛，B型車12輛．

點評：本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查簡單線性規劃．本題解題的關鍵是列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數，將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．