Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=n-k（n∈N^*，k∈R）滿足：對任意的正整數n都有b_n＜a_n，求k的取值范圍
（3）設各項均不為零的數列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的正整數i的個數稱為這個數列{c_n}的變號數．令cn=1-

a

an

（n為正整數），求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）f（x）≤0的解集有且只有一個元素，所以△=a²-4a=0，a=0或a=4，經驗證舍去a=0，得出f（x）=x²-4x+4，從而S_n=n²-4n+4．
（2）b_n=n-k對任意的正整數n都有b_n＜a_n，必有b₁＜a₁，即1-k＜1得出k＞0．當n≥2時，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2得出k＞3，總之有k＞3．
（3）求出數列{c_n}的通項公式，再解c_i•c_i+1＜0作答．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴△=a²-4a=0∴a=0或a=4，
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式
f（x₁）＞f（x₂）成立．
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式
f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上，得a=4　　　　（3分）　　　
　f（x）=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4　　（4分）
n=1時，a1=S1=1，當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2n-5，
∴an=sn-sn-1=

1&n=1 2n-5&，n≥2

（5分）
（2）∵b_n=n-k對任意的正整數n都有b_n＜a_n，∴b₁＜a₁，即1-k＜1
∴k＞0（6分）
當n≥2時，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2∴k＞3，
∴k＞3（8分）
總之有k＞3（9分）
（3）由題設知cn=

-3，&n=1 1- 4 2n-5 ，&n≥2

（10分）
當n≥2時，
由c_nc_n+1＜0，即

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0，得

3

2

＜n＜

5

2

或

7

2

＜n＜

9

2

（12分）
∴n=2或n=4
又∵c₁=-3，c₂=5，∴n=1時也有也有c₁c₂＜0
綜上得 數列{c_n}共有3個變號數，即變號數為3．（14分）

點評：本題是函數與不等式，數列的綜合題．考查邏輯思維、推理論證，運算求解能力．