Question

設各項均為正數的數列的前項和為，滿足，且恰為等比數列的前三項.
（1）證明：數列為等差數列； （2）求數列的前項和.

Answer 1

（1）見解析； （2）.

解析試題分析：（1）根據遞推關系式得，結合恰為等比數列的前三項，得到結論. （2）先由得到，兩式相減，利用錯位相減法求前n項和. 所以. 
（1）當時，，則，
于是，而，，故，                       2分
所以時，為公差為2的等差數列，
因為恰為等比數列的前三項，所以
即，解得，                              3分
由條件知，則，                                   4分
于是，
所以為首項是1，公差為2的等差數列；                          6分
（2）由（1）知，                                 8分
，
兩邊同乘以3得，
，                     9分
兩式相減得

，                  12分
所以.                                            13分
考點：遞推關系式；等差數列的通項公式；錯位相減法.