Question

已知動圓C過點A(－2，0)，且與圓相內切。

(1)求動圓C的圓心的軌跡方程；

(2)設直線: y=kx+m(其中k，m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點B，D，與雙曲線交于不同兩點E，F，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓M：(x－2)²+x²=64，圓心M的坐標為(2，0)，半徑R=8.

∵|AM|=4<R，∴點A(－2，0)在圓M內，

設動圓C的半徑為r，圓心為C，依題意得r= |CA|，且|CM|=R－r，

即|CM+|CA|=8>|AM|，                                    ……3分

∴圓心CD的軌跡是中心在原點，以A，M兩點為焦點，長軸長為8的橢圓，

設其方程為(a>b>0)，則a=4，c=2，

∴b²=a²－c²=12，∴所求動圓C的圓心的軌跡方程為.

(2)由消去y 化簡整理得：(3+4k²)x²+8kmx+4m²－48=0，

設B(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，則x₁+x₂=.

△₁=(8km)²－4(3+4k²) (4m²－48)>0.        ①           ……7分

由消去y 化簡整理得：(3－k²)x²－2kmx－m²－12=0，

設E(x₃，y₃)，F(x₄，y₄)，則x₃+x₄=.

△₂=(－2km)²+4(3－4k²) (m²+12)>0.        ②           ……9分

∵，∴ (x₄－x₂ )+ (x₃－x₁) =0，即x₁+x₂= x₃+x₄，

∴，∴2km=0或，

解得k=0或m=0，                                   ……11分

當k=0時，由①、②得，

∵m∈Z，∴m的值為－3，－2，－1，0，1，2，3；

當m=0時，由①、②得，

∵k∈Z，∴k=－1，0，1.

∴滿足條件的直線共有9條.

【解析】略