Question

橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上到兩個焦點距離之積最小的點的坐標是

（±5，0）

．

Answer 1

分析：設焦點坐標為F₁，F₂，依題意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，從而得出|PF₁|•|PF₂|，根據x的取值范圍可求得|PF₁|•|PF₂的最小值，當且僅當x=a時等號成立，根據橢圓對稱性可知當點動P在橢圓的長軸頂點時，等號成立．點P的坐標可得．

解答：解：設焦點坐標為F₁，F₂，橢圓上一點P（x，y），
依題意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
從而得出|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex）=a²-e²x²，
根據x的取值范圍[-a，a]，
得|PF₁|•|PF₂的最小值a²-e²a²，當且僅當x=±a時等號成立，
根據橢圓對稱性可知當點動P在橢圓的長軸頂點時，等號成立
∴此時點P的坐標為（±5，0）．
故答案為：（±5，0）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓的基本性質．考查了學生對橢圓定義的理解和運用．