Question

f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f（2）=0，則方程f（x）=0在區間（0，6）內解的個數的最小值是

7

．

Answer 1

分析：由函數的周期為3可得f（x+3）=f（x），再結合函數的奇偶性確定出函數在給定區間上的零點個數，注意找全零點，不能漏掉．

解答：解：由函數的周期為3可得f（x+3）=f（x）
由于f（2）=0，
若x∈（0，6），則可得出f（5）=f（2）=0，
又根據f（x）為奇函數，則f（-2）=-f（2）=0，
又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0，
又函數f（x）是定義在R上的奇函數，可得出f（0）=0，
從而f（3）=f（0）=0，在f（x+3）=f（x）中，
令x=-

3

2

，得出f(-

3

2

)=f(

3

2

)，
又根據f（x）是定義在R上的奇函數，得出f(-

3

2

)=-f(

3

2

)，
從而得到f(

3

2

)=-f(

3

2

)，即f(

3

2

)=0，
故f(

9

2

)=f(

3

2

+3)=f(

3

2

)=0，
從而f(

9

2

)=f(

3

2

)=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，共7個解
故答案為：7

點評：本題考查抽象函數的求值問題，考查函數周期性的定義，函數奇偶性的運用，把握住函數零點的定義是解決本題的關鍵．