Question

【題目】已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與C在第一象限內的交點，若線段的中點Q在C的漸近線上，則C的兩條漸近線方程為__________．

Answer 1

【答案】y＝±2x

【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，由圓的性質可得PF1⊥PF2，由三角形的中位線定理可得PF1⊥OQ，OQ的方程設為bx+ay＝0，運用點到直線的距離公式可得F1（﹣c，0）到OQ的距離，結合雙曲線的定義可得b＝2a，進而雙曲線的漸近線方程．

雙曲線的漸近線方程為y＝±x，

點P是以F1F2為直徑的圓與C在第一象限內的交點，可得PF1⊥PF2，

線段PF1的中點Q在C的漸近線，可得OQ∥PF2，

且PF1⊥OQ，OQ的方程設為bx+ay＝0，

可得F1（﹣c，0）到OQ的距離為b，

即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，

由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，

即b＝2a，

所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x．

故答案為：y＝±2x．