Question

對于數集，其中，，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質P.例如具有性質P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性質P，求證：且當x_n＞1時，x₁=1；（6分）
（3）若X具有性質P，且x₁=1，x₂=q（q為常數），求有窮數列的通
項公式.（8分）

Answer 1

（1）4；（2）見解析；（3），i="1," 2, …, n.

（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.     2分
所以x=2b，從而x=4.                                        4分
（2）證明：取.設滿足.
由得，所以、異號.
因為-1是X中唯一的負數，所以、中之一為-1，另一為1，
故                                                   7分
假設，其中，則.
選取，并設滿足，即，
則、異號，從而、之中恰有一個為-1.
若=-1，則，矛盾；
若=-1，則，矛盾.
所以x₁=1.                                                 10分
（3）解法一：猜測，i="1," 2, …, n.                         12分
記，k="2," 3, …, n.
先證明：若具有性質P，則也具有性質P.
任取，.當、中出現-1時，顯然有滿足；
當且時，、≥1.
因為具有性質P，所以有，、Î，使得，
從而和中有一個是-1，不妨設=-1.
假設且，則.由，得，與
矛盾.所以.從而也具有性質P.                15分
現用數學歸納法證明：，i="1," 2, …, n.
當n=2時，結論顯然成立；
假設n=k時，有性質P，則，i="1," 2, …, k；
當n=k+1時，若有性質P，則
也有性質P，所以.
取，并設滿足，即.由此可得s與t中有且只有一個為-1.
若，則，所以，這不可能；
所以，，又，所以.
綜上所述， ，i="1," 2, …, n.                   18分
解法二：設，，則等價于.
記，則數集X具有性質P當且僅當數集B關于
原點對稱.                                                14分
注意到-1是X中的唯一負數，共有n-1個數，
所以也只有n-1個數.
由于，已有n-1個數，對以下三角數陣



注意到，所以，從而數列的通項公式為
，k="1," 2, …, n.                         18分