Question

（本小題滿分12分）

設點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知、，且.

（1）求動點C的軌跡E；

（2）若直線與曲線E交于不同的兩點P、Q，且滿足，求實數的取值范圍。

 

 

Answer 1

【答案】

解：（１）設點，則△ABC的重心，∵△ABC是不等邊三角形，∴

再設△ABC的外心. ∵已知，∴MN∥AB，∴.  …………2分

∵點N是△ABC的外心，∴，即

化簡整理得軌跡E的方程是                    …………4分

∴動點C的軌跡E是指焦點在軸上的標準位置的一個橢圓（去掉其頂點）  …………5分

（2）（理科）將直線方程代入軌跡E的方程，并化簡，

得                        …………6分

依題意，知，，且，

化簡，得，，且                         …………7分

設、，∵，∴，即

        …………8分

又∵，，∴，

化簡得                                         …………10分

∴，，，，

解得實數的取值范圍是或且.          …………12分

 

【解析】略