Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100（n∈N^*）．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，若數(shù)列{c_n}滿足c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}中最大的項(xiàng)和最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-

b

2a

=10-3n，推導(dǎo)出a_n-a_n-1=-3．由此能證明{a_n}是等差數(shù)列．
（2）由c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

2

2n-5

，分類討論，能求出{c_n}中最小的項(xiàng)和最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）證明：y=f（x）的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-

b

2a

=-

-2(10-3n)

2

=10-3n，
∴a_n=10-3n，…（3分）
∴a_n-a_n-1=-3．…（5分）
∴{a_n}是等差數(shù)列．…（6分）
（2）∵c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

1

4n- 25 2 +10-3n

=1+

2

2n-5

，…（8分）
當(dāng)n≤2時(shí)，

2

2n-5

＜0，且c₁＞c₂，…（10分）
當(dāng)n≥3時(shí)，

2

2n-5

＞0且c_n＞c_n+1．…（12分）
∴{c_n}中最小的項(xiàng)為c₂=-1，最大的項(xiàng)為c₃=3．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用．