Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+x2-x，a∈R
（1）若函數(shù) 在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，可實(shí)數(shù)a的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函數(shù)g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1
∵函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即a＞

1

x2

-

2

x

在（2，+∞）上有解
∵

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，

1

x

∈(0，

1

2

)
∴

1

x2

-

2

x

＞-

3

4

∴a＞-

3

4

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-

3

4

，+∞)
（3）函數(shù)g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=x3-1+

1

3

x，g′（x）=3x2+

1

3

＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）=-x3+1+

1

3

x，g′（x）=-3x2+

1

3

=-3(x+

1

3

)(x-

1

3

)
令g′（x）＞0，可得-

1

3

＜x＜

1

3

，令g′（x）＜0，可得x＜-

1

3

，或x＞

1

3

，
∴函數(shù)在(-2，-

1

3

)上單調(diào)減，（-

1

3

，

1

3

）上單調(diào)增，(

1

3

，1)上單調(diào)減，（1，2）上單調(diào)增
∴當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，g（x）取得極小值

25

27

．當(dāng)x=

1

3

時(shí)，g（x）取得極大值

29

27

．g（-2）=

25

3

，g(2)=

23

3

∴

1

3

＜m＜

25

27

或

29

27

＜m＜

23

3

時(shí)，g（x）的圖象y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

1

3

，

25

27

)∪ (

29

27

，

23

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，綜合性強(qiáng)．