Question

【題目】已知函數， 的圖象在處的切線方程為.

（1）求函數的單調區間與極值；

（2）若存在實數，使得成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 函數f(x)的單調遞減區間為(－∞，0)；單調遞增區間為(0，＋∞),所以函數f(x)在x＝0處取得極小值f(0)＝2;(2) k的最小值為0.

【解析】試題分析：⑴求出函數的導數，求得切線的切點，

⑵要滿足，分類含參量得

構造，求得的最小值即可

解析：(Ⅰ)f′(x)＝2ex＋6x－2，

因為f′(0)＝a，所以a＝0，

易得切點(0，2)，所以b＝－1.

易知函數f′(x)在R上單調遞增，且f′(0)＝0.

則當x<0時，f′(x)＜0；當x＞0時，f′(x)＞0.

所以函數f(x)的單調遞減區間為(－∞，0)；單調遞增區間為(0，＋∞)．

所以函數f(x)在x＝0處取得極小值f(0)＝2.

(Ⅱ)f(x)－2x2－3x－2－2k≤0ex＋x2－x－1－k≤0k≥ex＋x2－x－1，　(*)

令h(x)＝ex＋x2－x－1，

若存在實數x，使得不等式(*)成立，則k≥h(x)min，

h′(x)＝ex＋x－，易知h′(x)在R上單調遞增，

又h′(0)＝－<0，h′(1)＝e－>0，h′＝e－2<0，h′＝e－>2.56－＝1.6－＝－>2－＝>0，

所以存在唯一的x0∈，使得h′(x0)＝0，

且當x∈(－∞，x0)時，h′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，h′(x)>0.

所以h(x)在(－∞，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，

h(x)min＝h(x0)＝ex0＋x20－x0－1，

又h′(x0)＝0，即ex0＋x0－＝0，

所以ex0＝－x0.

所以

因為x0∈，

所以h(x0)∈，

則k≥h(x0)，又k∈Z.

所以k的最小值為0.