Question

24、P是△ABC所在平面外一點，O是P點在平面a上的射影．若P到△ABC三邊的距離相等，則O是△ABC的

內

心；若P到△ABC三個頂點的距離相等，則O是△ABC的

外

心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的

垂

心．

Answer 1

分析：如圖P是△ABC所在平面外一點，O是P點在平面a上的射影．若P到△ABC三邊的距離相等，由三角形全等可以得到三線段OE=OF=OD，三線段分別垂直于對應的邊，可得其為內心；同理可得P到△ABC三個頂點的距離相等，則O是△ABC的外心；PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的垂心．

解答：解：如圖P是△ABC所在平面外一點，O是P點在平面a上的射影．若P到△ABC三邊的距離相等，E，F，D分別是點P在三個邊上的垂足，故可證得OE，OF，OD分別垂直于三邊且相等，由內切圓的加心的定義知，此時點O是三角形的內心，故應填：內；
若P到△ABC三個頂點的距離相等，由由條件可證得OA=OB=OC，由三角形外心的定義知此時點O是三角形的外心，故應填：外；
若PA、PB、PC兩兩互相垂直，由可證得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此時點O是三角形三邊高的交點，故此時點O是三角形的垂心，故應填：垂．
綜上，三空答案依次應為內，外，垂．

點評：本題考查三角形內的特殊點內心，外心，垂心，此是三角形常考的一種題型．