Question

已知拋物線L的方程為x²=2py（p＞0），直線y=x截拋物線L所得弦．
（1）求p的值；
（2）拋物線L上是否存在異于點A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線．若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯立，求出A與B的坐標，再代入弦長即可求p的值；
（2）設出點C的坐標以及圓的圓心N，利用A、B、C三點在圓上，得出圓心坐標N和點C的坐標之間的關系式；再利用拋物線L在點C處的切線與NC垂直，代入即可求點C的坐標．
解答：解：（1）由解得A（0，0），B（2p，2p）
∴，
∴p=2
（2）由（1）得x²=4y，A（0，0），B（4，4）
假設拋物線L上存在異于點A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線
令圓的圓心為N（a，b），
則由得
得⇒
∵拋物線L在點C處的切線斜率
又該切線與NC垂直，
∴
∴
∵t≠0，t≠4，
∴t=-2
故存在點C且坐標為（-2，1）．
點評：本題主要考查直線上兩點的斜率公式、直線與圓相切、垂徑定理、拋物線與圓的幾何性質等知識，考查學生的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．