Question

已知函數，
（1）當時，求f（x）的反函數g（x）；
（2）求關于x的函數y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3）當x∈[-1.1]時的最小值h（a）；
（3）我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：
①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在函數的定義域內存在區間[p，q]（p＜q）使得函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]．
（Ⅰ）判斷（2）中h（x）是否為“和諧函數”？若是，求出p，q的值或關系式；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）若關于x的函數y=+t（x≥1）是“和諧函數”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由得
∴
（2）令t=f^-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知．
∴函數y=[f^-1（x）]²-2a[f^-1（x）]+3=t²-2at+3
對稱軸x=a（a≤3）
時，
②，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴．
（3）對（2）中，
易知g（x）在（-∞，3]上單減．
（3）（I）若g（x）為“和諧函數”，則g（x）在（-∞，3]上存在區間[p，q]（p＜q），使得g（x）在區間[p，q]
上的值域為[p²，q²]．
①若，g（x）遞減，
得p+q=，
這與矛盾．
②時恒成立

此時p、q、滿足，這樣的p，q存在．
③時，解得矛盾
∴（2）中g（x）是“和諧函數”，p、q滿足
（II）∵在[1，+∞）遞增，有和諧函數的定義知，該函數在定義域[1，+∞）內，存在區間[p，q]（p＜q），使得該函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]
分析：（1）將f（x）看成關于x的方程，求出x，將x，y互換得到g（x）．
（2）通過換元，將函數轉化為關于t的二次函數，求出對稱軸，通過對對稱軸與區間位置關系的討論，求出最小值g（a）．
（3）據和諧函數的定義，列出方程組，求出p，q滿足的條件．
點評：本題考查新定義題，關鍵是理解透題中的新定義，此題型是近幾年高考常考題型．求分段函數的函數值關鍵是判斷出自變量所屬的范圍．