Question

給定實數a，a≠0，且a≠1，設函數y=

x-1

ax-1

（x∈R，且x≠

1

a

）．
證明：（1）經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行
于x軸；
（2）這個函數的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形．

Answer 1

分析：（1）欲證經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸，設M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是這個函數圖象上任意兩個不同的點，可通過證明任意兩個不同的點的直線的斜率恒不為0得到；
（2）要證這個函數的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形，設點P（x'，y'）是這個函數圖象上任意一點，證明其對稱點（y'，x'）也在此函數的圖象上即可．

解答：解：（1）設M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是這個函數圖象上任意兩個不同的點，則x₁≠x₂，且y2-y1=

x2-1

ax2-1

-

x1-1

ax1-1

=

ax1x2-x2-ax1+1-(ax1x2-x1-ax1+1)

(ax2-1)(ax1-1)

=

a(x2-x1)-(x2-x1)

(ax2-1)(ax1-1)

=

(x2-x1)(a-1)

(ax2-1)(ax1-1)

，
∵a≠1，且x₁≠x₂，∴y₂-y₁≠0．
從而直線M₁M₂的斜率k=

y2-y1

x2-x1

≠0，因此，直線M₁M₂不平行于x軸．
（2）設點P（x'，y'）是這個函數圖象上任意一點，則x'≠

1

a

，且y'=

x′-1

ax′-1

（1）易知點P（x'，y'）關于直線y=x的對稱點P'的坐標為（y'，x'）由（1）式得y'（ax'-1）=x'-1，即x'（ay'-1）=y'-1，（2）假如ay′-1=0，則y′=

1

a

，代入(1)得

1

a

=

x′-1

ax′-1

，即ax'-a=ax'-1，由此得a=1，與已知矛盾，∴ay′-1≠0．于是由(2)式得x′=

y′-1

ay′-1

.
這說明點P'（y'，x'）在已知函數的圖象上，
因此，這個函數的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形．

點評：本題主要考查了等價轉化能力和數式的運算能力，屬于中檔題．對（1）也可用反證法或考查平行x軸的直線y=c與所給函數的圖象是否相交及交點數目的情況．由其無交點或恰有一交點，從而得證．對（2）也可先求反函數，由反函數與原函數相同證明其圖象關于y=x對稱）．