Question

（本小題滿分12分）已知，設函數，．

（Ⅰ）求函數的最大值；

（Ⅱ）若是自然對數的底數，當時，是否存在常數、，使得不等式對于任意的正實數都成立？若存在，求出、的值，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（本小題滿分12分）

解：（I）∵ ，               ………………（2分）

∴．

 

 

	+	0	-
		極大值

∴當時，函數取最大值；      ………………（4分）

（II）當時，的最大值是0，

即，當且僅當時取等號，        ………………（6分）

函數和的圖象在處有且僅有一個公共點，

∵，函數的圖象在處切線斜率是，

∵，函數的圖象在處切線斜率是，

∴和的圖象在處有公共切線方程為，………………（8分）

設，

	+	0	-
		極大值

∴當時，函數取得最大值，∴恒成立；……………（10分）

∵，

∴在時恒成立；

∴當時，，．                 ………………（12分）

【解析】略