Question

已知cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=

1

3

，且α∈(

3π

2

，2π)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：利用兩角差的余弦公式求出cosα，然后求出2α的正弦與余弦值，通過兩角和的余弦函數，代入數據即可求出結果．

解答：解：cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=

1

3

，α∈(

3π

2

，2π)，可得cos（α+β-α）=cosα=

1

3

，
所以cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，sin2α=2sinαcosα=-

4 2

9

，
所以cos(2α+

π

4

)=

2

2

(-

7

9

+

4 2

9

)=

8-7 2

18

；
故答案為：

8-7 2

18

．

點評：本題考查兩角和與差的余弦公式，同角三角函數的基本關系，二倍角的正切公式的應用，求出cosα是解題的關鍵．