Question

已知函數f(x)=x³-x²+ax+b(a，b∈R)的一個極值點為x=1，方程ax²+x+b=0的兩個實根為α，β（α＜β），函數f(x)在區間[α，β]上是單調的，
(Ⅰ)求a的值和b的取值范圍；
(Ⅱ)若x₁，x₂∈[α，β]，證明：|f(x₁)-f(x₂)|≤1。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵f(x)=x³-x²+ax+b，
∴f′(x)=3x²-2x+a，
∵f(x)=x³-x²+ax+b的一個極值點為x=1，
∴ f′(1)=3×1²-2×1+a=0，∴a=-1，
∴f′(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1)，
當時，；當時，；當x＞1時，；
∴函數f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
∵方程ax²+x+b=0的兩個實根為α，β，即x²-x-b=0的兩根為α，β（α＜β），
∴，
∴，
∵函數f(x)在區間[α，β] 上是單調的，
∴區間[α，β]只能是區間之一的子區間，
由于，故，
若α＜0，則α+β＜1，與α+β=1矛盾；
∴，
∴方程x²-x-b=0的兩根為α，β都在區間[0，1]上，
令的對稱軸為，
則，解得：，
∴實數b的取值范圍是。
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可知函數f(x)在區間[α，[α，β]]上單調遞減，
∴函數f(x)在區間[α，β]上的最大值為f（α），最小值為f(β)，
∵x₁，x₂∈[α，β]，
∴

令，則，
，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∴函數在(0，1]上單調遞增，
∴h(t)≤h(1)=1，
∴|f(x₁)-f(x₂)|≤1。