Question

已知關于x的方程2a^2x-2-9a^x-1+4=0有一根是2．
（1）求實數a的值；（2）若0＜a＜1，求不等式2a^2x-2-9a^x-1+4＜0的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x=2是原方程的解，故把x=2代入方程中得到關于a的一元二次方程，求出方程的解得到a的值；
（2）由a的范圍得出滿足題意的a的值，代入所求的不等式中把看做未知數，求出不等式的解集，然后根據指數函數為減函數得到關于x的雙向不等式組，求出雙向不等式的解集得到x的范圍，即為原不等式的解集．
解答：解：（1）用x=2代入原方程得2a²-9a+4=0，（3分）
∴；（5分）
（2）∵0＜a＜1，，（7分）
則原不等式化為：，
即[2-1][-4]＜0，
=，（9分）
由＜1，得到指數函數y=為減函數，
∴-2＜x-1＜1，
解得：-1＜x＜2，
則原不等式的解集為{x|-1＜x＜2}．（12分）
點評：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，以及指數函數的單調性，利用了轉化的思想，是高考中常考的題型．