Question

【題目】某同學使用某品牌暖水瓶，其內膽規格如圖所示．若水瓶內膽壁厚不計，且內膽如圖分為①②③④四個部分，它們分別為一個半球、一個大圓柱、一個圓臺和一個小圓柱體．若其中圓臺部分的體積為，且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時水溢出．記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為，

（1）求；

（2）該同學發現：該品牌暖水瓶盛不同體積的熱水時，保溫效果不同．為了研究保溫效果最好時暖水瓶的盛水體積，做以下實驗：把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同體積的水，并記錄水瓶內不同體積水在不同時刻的水溫，發現水溫（單位：℃）與時刻滿足線性回歸方程，通過計算得到下表：

倒出體積	0	30	60	90	120
擬合結果
倒出體積	150	180	210	…	450
擬合結果				…

注：表中倒出體積（單位：）是指從最大盛水量中倒出的那部分水的體積．其中：

令．對于數據，可求得回歸直線為，對于數據，可求得回歸直線為．

（ⅰ）指出的實際意義，并求出回歸直線的方程（參考數據：）；

（ⅱ）若與的交點橫坐標即為最佳倒出體積，請問保溫瓶約盛多少體積水時（盛水體積保留整數，且取3.14）保溫效果最佳？

附：對于一組數據，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）的實際意義為倒出體積水時，暖水瓶內水的降溫速率；回歸直線的方程為；（ⅱ）.

【解析】

（1）根據題意，分析可得該暖水瓶的內膽是由一個半球和一個大圓柱以及一個小圓柱組合而成，分別利用球的體積公式和柱體的體積公式求得相應幾何體的體積，之后作和求得暖水瓶的最大盛水量，得到結果；

（2）（ⅰ）根據題意，可得的實際意義為倒出體積水時，暖水瓶內水的降溫速率；利用公式求得回歸直線的方程為；

（ⅱ）聯立方程組得，即為最佳倒出體積約為，根據條件，求得結果.

（1）依題意得，半球的半徑為，

體積為，

大圓柱體積，

小圓柱體積，

所以蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為．

（2）（ⅰ）的實際意義為倒出體積水時，暖水瓶內水的降溫速率；

越小，降溫速率越小，保溫效果越好；越大，降溫速率越大，保溫效果越差．

因為，對于回歸直線，

因為，

，

所以，

，

所以回歸直線的方程為．

（ⅱ）聯立得，

所以保溫瓶最佳倒出體積約為，

保溫瓶盛水體積約為，

所以保溫瓶盛水體積約為時保溫效果最佳．