Question

若函數f(x)對定義域中任意x均滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則稱函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱．

(1)已知函數f(x)＝的圖象關于點(0,1)對稱，求實數m的值；

(2)已知函數g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的圖象關于點(0,1)對稱，且當x∈(0，＋∞)時，g(x)＝x²＋ax＋1，求函數g(x)在(－∞，0)上的解析式；

(3)在(1)(2)的條件下，當t＞0時，若對任意實數x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)由題設可得f(x)＋f(－x)＝2，

即＋＝2，解得m＝1.

(2)當x＜0時，－x＞0且g(x)＋g(－x)＝2，

∴g(x)＝2－g(－x)＝－x²＋ax＋1.

(3)由(1)得f(t)＝t＋＋1(t＞0)，

其最小值為f(1)＝3.

g(x)＝－x²＋ax＋1＝－²＋1＋，

①當＜0，即a＜0時，g(x)_max＝1＋＜3，

得a∈(－2，0)

②當≥0，即a≥0時，g(x)_max＜1＜3，

得a∈[0，＋∞)；由①②得a∈(－2，＋∞) 

【解析】略