Question

△ABC中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知A=

π

6

，c=

3

，b=1
（1）求a的長及B的大小；
（2）試指出函數f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

的圖象可以由函數y=sin2x圖象經怎樣的變化而得到，并求當x∈（0，B]時函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理求出a，由a=1=b，得到 B=A=

π

6

．
 （2）求出f（x）=2sin（2x+

π

3

），即可得到f（x）由函數y=sin2x圖象經怎樣的變化而得到，由x的范圍求得sin（2x+

π

3

）的范圍，即得函數f（x）的值域．

解答：解：（1）由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccossA=4-2

3

cos

π

6

=1，∴a=1，∴B=A=

π

6

．
（2）f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
該函數圖象可以由y=sin2x的圖象先向左平移

π

6

，然后把每點的橫坐標不變縱坐標變為原來的2倍即可得到．
由（1），0＜x≤

π

6

，∴

π

3

＜2x+

π

3

≤

2π

3

，

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴函數的值域為[

3

，2]．

點評：本題考查余弦定理、二倍角公式的應用，以及函數圖象的變換，求出f（x）=2sin（2x+

π

3

）是解題的關鍵．