Question

已知函數，在定義域內有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數列的前項和.

（I）求數列的通項公式；

（II）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令（n為正整數），求數列的變號數；

（Ⅲ）設（且），使不等式

 恒成立，求正整數的最大值．

Answer 1

解：（I）∵在定義域內有且只有一個零點

            ……1分

當=0時，函數在上遞增     故不存在，

使得不等式成立        …… 2分

綜上，得    …….3分

    …………4分                

（II）解法一：由題設

時，

時，數列遞增           

由                可知

即時，有且只有1個變號數；     又

即             ∴此處變號數有2個

綜上得數列共有3個變號數，即變號數為3           ……9分

解法二：由題設            

當時，令

又時也有   

綜上得數列共有3個變號數，即變號數為3                   …………9分

（Ⅲ）且 時，

可轉化為    ．

設，

則當且，

.

所以，即當增大時，也增大．

要使不等式對于任意的恒成立，只需

即可．因為，

所以.       即

所以，正整數的最大值為5．                              ……………13分