Question

下列說法：
①方程2^-x+x²=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為1；
②函數(shù)y=a^x的圖象可以由函數(shù)y=2a^x（其中a＞0且a≠1）平移得到；
③若對(duì)x∈R，有f（x-1）=-f（x），則f（x）的周期為2；
④函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
其中正確的命題的序號(hào)

③④

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來判斷方程的解的個(gè)數(shù)，從而判斷①是否正確；
根據(jù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律判斷②是否正確；
利用周期函數(shù)的定義，驗(yàn)證③是否正確；
根據(jù)函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是否在另一函數(shù)圖象上，來判斷兩函數(shù)圖象是否關(guān)于直線對(duì)稱，從而判斷④是否正確．

解答：解：對(duì)①選項(xiàng)，利用函數(shù)f（x）=2^-x=(

1

2

)x與f（x）=3-x²的圖象，判斷兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，故①錯(cuò)誤；
對(duì)②選項(xiàng)，函數(shù)y=a^x的圖象可由函數(shù)y=2a^x的圖象的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

得到，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)③選項(xiàng)，∵f（x）=-f（x-1），∴f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．∴則f（x）的周期為2，故③正確；
對(duì)④選項(xiàng)，對(duì)函數(shù)y=f（1+x）圖象上任一點(diǎn)P（a，b），關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)Q（2-a，b），∵f（2-a）=f[1+（1-a）]=f[1-（1-a）]=f（a）=b，
∴Q在函數(shù)y=f（1-x）的圖象上，故④正確．
故答案是③④．

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查判斷的真假判定，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定、函數(shù)的圖象變化規(guī)律及函數(shù)的周期．