Question

已知點(diǎn)F（a，0）（a＞0），直線(xiàn)l：x=-a，點(diǎn)E是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于y軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡M的方程；
（2）若曲線(xiàn)M上在x軸上方的一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，過(guò)點(diǎn)A作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)，與曲線(xiàn)M的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B、C，求證：直線(xiàn)BC的斜率為定值．

Answer 1

（1）連接PF．∵點(diǎn)P在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上，
∴|PF|=|PE|．∴點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．
∴p=2a．∴點(diǎn)P的軌跡為M：y²=4ax（a＞0）．
（2）直線(xiàn)AB的斜率為k（k≠0），點(diǎn)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，2a）．
則直線(xiàn)AB的方程為y-2a=k（x-a）.

y-2a=k(x-a) y2=4ax.

消去x，得ky²-4ay+4a²（2-k）=0．
△=16a²（k-1）²≥0
∵y₁，2a是方程的兩個(gè)根，
∴2ay1=

4a2(2-k)

k

．，∴y1=

2a(2-k)

k

．
依題意，直線(xiàn)AC的斜率為-k．
同理可得y2=-

2a(2+k)

k

．
∴y1+y2=

2a(2-k)

k

+

-2a(2+k)

k

=-4a．
∴kBC=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 22 4a - y 21 4a

=

4a

y1+y2

=-1
所以直線(xiàn)BC的斜率為定值．