Question

設拋物線y²=4x被直線y=2x-4截得的弦長為AB，以AB為底邊，以x軸上的點P為頂點作三角形，當此三角形的面積為9時，求P點坐標．

Answer 1

分析：設出A、B點的坐標，聯立方程根據根與系數的關系求出弦長AB，再設P（x₀，0），先求點P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距離d，根據面積為9，代入可求P得坐標；

解答：解：：（1）

y2=4x y=2x-4

∴4x²-20x+16=0
由△＞0有 20²-4×4×16＞0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
x₁+x₂=5則x₁•x₂=4，
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

 =

(x1+x2)2-4x1x2+(y1+y2)2-4y1y2

=

(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]

=3

5

，
設P（x₀，0）則點P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距離 d=

|2x0-4|

5

，
依題意

1

2

×|AB|×d=9，∴

1

2

×3

5

×d=

1

2

×3

5

×

|2x0-4|

5

=9，
解得x₀=5或-1，
∴P點坐標（5，0）或（-1，0）；

點評：本題主要考查了直線與拋物線相交求解弦長，關鍵是根據方程的根與系數的關系表示，這是圓錐曲線的考查的熱點之一．