Question

（本小題滿分14分）

如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道，是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低.設(shè)計(jì)要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上。已知米，米，記。

（Ⅰ）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫出定義域；

（Ⅱ）若，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度；

（Ⅲ）問：當(dāng)取何值時(shí)，鋪設(shè)管道的成本最低？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ，；

（Ⅱ）時(shí)，，；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時(shí)管道的長(zhǎng)度為米。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)在實(shí)際函數(shù)中的運(yùn)用。

（1），，

由于，，，，所以 ，。

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111917422739455384/SYS201211191743116757974644_DA.files/image003.png">時(shí)，，

（3）=，設(shè),

則，由于，

構(gòu)造二次函數(shù)，求解最值。

解：（Ⅰ），，

由于，，，。3分

所以 ，……………………………5分

（Ⅱ）時(shí)，，；……………10分

（Ⅲ）=，設(shè),

則，由于，

所以 ，在 內(nèi)單調(diào)遞減，

于是當(dāng)時(shí). 的最小值米……………………13分

答：當(dāng)時(shí)，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時(shí)管道的長(zhǎng)度為米………14分