Question

下列曲線的所有切線構成的集合中，存在無數對互相垂直的切線的曲線是（　　）

A．f（x）=ex

B．f（x）=x3

C．f（x）=lnx

D．f（x）=sinx

Answer 1

設切點的橫坐標為x₁，x₂
則存在無數對互相垂直的切線，即f′（x₁）•f′（x₂）=-1有無數對x₁，x₂使之成立
對于A由f′（x）=e^x＞0，
所以不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
對于B由于f′（x）=3x²＞0，
所以也不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
對于C由于f（x）=lnx的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

＞0，
對于Df′（x）=cosx，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=cosx₁•cosx₂，
當x₁=2kπ，x₂=（2k+1）π，k∈Z，
f′（x₁）•f′（x₂）=-1恒成立．
故選D