Question

(07年四川卷文)（14分）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù)．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）若，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明．

Answer 1

解析：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識，以及推理論證、計(jì)算及解決問題的能力．

（Ⅰ）由題可得．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：．

即．

令，得．

即．

顯然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．

從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列．

故．

即．

從而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

∴

∴

當(dāng)時(shí)，顯然．

當(dāng)時(shí)，

∴

．

　　　綜上，．