Question

 (本小題滿分12分) 已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在軸上，離心率為，且過點．

（1）求橢圓C的方程；

（2） 過橢圓C的左焦點的直線與橢圓C相交于兩點，若的面積為，求圓心在原點O且與直線相切的圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

 

【解析】(1)由離心率e和橢圓經過點,可得關于a,b,c的兩個方程，再結合,可求出a,b的值.

(2)討論斜率不存在時，和斜率存在時兩種情況，當斜率存在時，

可設出直線方程與橢圓方程聯立，消去y，得,然后根據韋達定理和弦長公式求出|AB|的長度，再根據點到直線的距離公式求出O到|AB|的距離，從而表示出三角形AOB的面積，根據面積建立關于k的方程，解方程即可.但要注意驗證判別式.

解：(1) 設橢圓C的方程為，由題意可得，

又，所以．……………2分

又橢圓C經過點，所以，解得．……………4分

所以，，則橢圓C的方程為．……………6分

(2) 解法一：當直線軸時，經過計算可以得到：，或，，，不符合題意． ……………7分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，

由，消去，得．  ……………8分

顯然恒成立，設，

則．……………9分

又

．

又圓的半徑，

所以．……………10分

即，解得 (舍去)，所以．……11分

故圓的方程為．…………………12分

解法二：設直線的方程為．

由，消去，得，顯然恒成立．……8分

設，則．……………9分

所以，

所以．……………10分

化簡，得，解得 (舍去)．

又圓的半徑，所以．……………11分

故圓的方程為．…………………12分