Question

下列命題中：
①集合A={ x|0≤x＜3且x∈N }的真子集的個數是8；
②關于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0一個根大于1，一個根小于1，則實數m的取值范圍m＜-

2

3

；
③函數f（x）=x²+（3a+1）x+2a在 （-∞，4）上為減函數，則實數a的取值范圍是a≤3；
④已知函數y=4^x-4•2^x+1（-1≤x≤2），則函數的值域為[-

3

4

，1]；
⑤定義在（-1，0）的函數f（x）=log_（2a）（x+1）滿足f（x）＞0的a的取值范圍是（0，

1

2

）；
⑥將三個數：x=2^0.2，y=(

1

2

)2，z=log2

1

2

，
按從大到小排列正確的是z＞x＞y，其中正確的有

②⑤

．

Answer 1

分析：①不正確，因為含三個元素的集合其真子集共有2³-1=7 個．②正確，因為由題意知，1對應的函數值小于0，解得m＜-

2

3

，
③不正確，因為由4≤-

3a+1

2

解得 a≤-3． 
④不正確，因為

1

2

≤2^x≤4，函數y=（2^x-2）²-3，當 2^x=2時，函數有最小值-3，當 2^x=4時，函數有最大值 1．
⑤正確，因為log_（2a）（x+1）＞0，0＜x+1＜1，故 0＜2a＜1．
⑥不正確，因為 1＜2^0.2＜2，0＜(

1

2

)2＜1，log2

1

2

＜0，故x＞y＞z．

解答：解：①不正確，因為集合A中含有0、1、2三個元素，其所有子集共8個，其中真子集有7個．
對于②，∵關于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0一個根大于1，一個根小于1，令f（x）=x²+mx+2m+1=0，
則f（1）=2+3m＜0，∴m＜-

2

3

，故②正確．
對于③，f（x）=x²+（3a+1）x+2a在 （-∞，4）上為減函數時，4≤-

3a+1

2

，∴a≤-3，故③不正確．
對于④，函數y=4^x-4•2^x+1（-1≤x≤2）=（2^x-2）²-3，∵-1≤x≤2，

1

2

≤2^x≤4，
故當 2^x=2時，函數有最小值-3，當 2^x=4時，函數有最大值 1，故函數的值域[-3，1]，故④不正確．
對于⑤，在（-1，0）上的函數f（x）=log_（2a）（x+1）滿足f（x）＞0，∴0＜x+1＜1，
∴0＜2a＜1，∴0＜a＜

1

2

，故⑤正確．
對于⑥，∵1＜2^0.2＜2，0＜(

1

2

)2＜1，log2

1

2

＜0，故 x＞y＞z，故⑥不正確．
綜上，只有②⑤正確，故答案為 ②⑤．

點評：本題考查函數的單調性和值域，一元二次方程根的分布，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．